13/8/2015, 16:30

Fletninger og deres anvendelser

I det sidste indlæg definerede vi Jonesrepræsentationen, der til enhver fletning \(\sigma\) med \(n\) strenge og et valg af et tal \(d \in \{0,\dots,n-1\}\) knytter en matrix \(\eta(\sigma)\), der ydermere afhænger af en komplekst tal \(A\). I dette indlæg kigger vi nærmere på, hvor \(\eta\) kommer fra, hvad matricerne måske siger, og endelig en småsyret anvendelse af matricerne, der måske revolutionerer verden, som vi kender den. Og måske gør den ikke. Det finder vi ud af.



Fysisk baggrund


I det sidste indlæg introducerede vi det komplekse tal \(A\) sammen med nogle regler om, hvordan det spiller sammen med fletninger, uden at have motiveret hverken tallet eller reglerne. Det viser sig imidlertid, at både tallene og reglerne kan motiveres ved hjælp af matematisk fysik. Vi nævnte tidligere, at man kunne vælge at tænke på punkterne for enden af fletningen som beliggende i en plan, og at fletningerne i det tilfælde beskriver punkternes bevægelse i tiden. Med en smule held findes en fysisk teori, hvor Jonesrepræsentationerne beskriver denne tidsudvikling for en eller anden type partikler, svarende til punkterne, eller rettere de diagrammer, der forbinder punkterne, og som vi kiggede på tidligere. Om der findes en sådan fysisk teori er ikke helt klart på nuværende tidspunkt, men hvis den findes, er den modelleret af den matematisk-fysiske Chern-Simons-teori; en såkaldt \(2+1\)-dimensional topologisk kvantefeltteori. At teorien er 3-dimensional vil sige, at teorien beskriver en udvikling af 2-dimensionalt rum i 1-dimensional tid. At den er topologisk vil sige, at det system, den beskriver, i det store hele er indifferent med tilstrækkeligt kontinuerte deformationer: Husk at vi havde frihed til at flytte vores fletninger rundt i rummet, så længe strengene ikke bevægede sig igennem hinanden. At det er en kvantefeltteori ... well, der findes faktisk ikke én endelig definition på, hvad en kvantefeltteori er endnu ... Denne sammenhæng mellem fletninger og matematisk fysik, der går via Jonesrepræsentationen, blev opdaget af Edward Witten, der ligesom Jones har modtaget en Fieldsmedalje for sit arbejde.

Partiklerne, det vil sige diagrammerne, kaldes på engelsk any-ons, fordi de ikke opfører sig som de fermioner og bosoner, som man måske er bekendt med fra sin grunduddannelse i fysik, men at de kan opfører sig som hvad som helst (any-thing) midt imellem.

At realisere Jonesrepræsentationerne i virkeligheden er altså et problem om at finde et fysisk system, der er modelleret ved Chern-Simons-teori. Det kan lyde som en eller anden mellemting mellem ønsketænkning og nonsens men er faktisk ikke så langt ude, som man skulle tro. Hvis vi i det forrige indlæg havde betragtet diagrammerne med \(d = n\) ville vi have fået et halvkedeligt et-dimensionalt vektorrum \(V^{n,n}\), hvor Jonesrepræsentationen af en elementær fletning \(\sigma_i\) er givet ved \(1 \times 1\)-matricen \(\eta(\sigma_i) = (A)\). For denne værdi af \(d\) viser det sig, at de tilhørende anyoner rent faktisk findes i naturen, når også \(A\) har en bestemt værdi; de optræder blandt andet i hvad, der kaldes den rationale kvante-Hall-effekt, der blev opdaget i 1980'erne gennem arbejde, der i 1998 blev belønnet med en Nobelpris.

For andre værdier af \(d\) er der imidlertid endnu ingen, der har haft held med at finde tilhørende fysiske systemer -- partiklerne kaldes her "ikke-abelske" anyoner -- men faststoffysikere har efter sigende en god idé om, hvor de skal kigge.



Topologiske kvantecomputere


Hvis disse ikke-abelske anyoner en dag måtte vise sig i naturen, har det potentielt betydning for udviklingen af kvantecomputere. Kvanteberegning er lettest at forstå, hvis man sammenligner den med, hvordan almindelige computere fungerer: En almindelig computer består i bund og grund af implementeringer af en række logiske kredsløb, der forvandler samlinger af 0-taller og 1-taller til andre samlinger af 0-taller og 1-taller. I en kvantecomputer bliver de to tal 0 og 1 erstattet med (de uendeligt mange) vektorer i et 2-dimensionalt komplekst vektorrum og kredsløbene, der opererer på tallene, bliver erstattet med unitære matricer, der opererer på vektorerne.

Vi er derfor godt kørende, hvis vi er i stand til at finde fysiske (kvantemekaniske) systemer, modelleret i passende forstand af 2-dimensionale vektorrum, hvis dynamik omvendt giver anledning til de ønskede unitære operatorer. Men vi er jo allerede stødt på et sådant to-dimensionalt vektorrum: \(V^{4,0}\).

Men det er endnu bedre end det. En kvantealgoritme er givet ved en samling unitære matricer, så det er selvfølgelig optimalt, hvis ens fysiske system kan bruges til at lave alle de relevante unitære matricer, og det kan vi effektivt med Jonesrepræsentationerne: Ved efter behov at vælge en tilstrækkeligt stor fletning, kan vi komme vilkårligt tæt på enhver ønsket unitær matrix. I hvert fald hvis \(A\) vælges fra en bestemt familie af komplekse tal.



AMU-formodningen


Lad os nu vende tilbage til matematikken, til ting jeg rent faktisk ved noget om, og til de ting som artiklen med Egsgaard handler om.

Kort sagt har vi i artiklen givet en meget konkret fortolkning af, hvordan Jonesrepræsentationerne ser ud, hvis man sætter \(A = \exp(\pi i/4)\), og det er det, størstedelen af artiklen handler om. Denne konkrete værdi er speciel, fordi der her gælder, at udtrykket \(-A^2 -A^{-2}\), som vi stødte på i det første indlæg, forsvinder. Motivationen var forsøget på at sige noget klogt om AMU-formodningen (efter Andersen, Masbaum og Ueno), der i bund og grund siger, at man kan sige noget konkret om matricerne fra Jonesrepræsentationen, hvis man ved noget konkret om fletningernes dynamik. For at være en smule mere præcis, tillader jeg mig at stjæle en idé fra fluidmekanikere:

Forestil dig, kære læser, en flad skål med et lag væske, hvori \(n\) pinde er nedsænket, og at pindene flytter sig rundt for at blande væsken. Hvis pindene vender tilbage til deres oprindelige position, vil deres bevægelse i tid give anledning til en fletning: Som før tænker vi på pindenes placeringer som punkter i planen, og indfører en ny koordinat, der beskriver tiden; positionerne og tiden beskriver sammen en fletning i 3-dimensionalt rum. Hvis man nu derudover farver væsken, vil man kunne beskrive fletningen ved at studere, hvordan væsken er farvet efter nogle iterationer af blandingen.

For bestemte fletninger, som vi kalder pseudo-Anosov, vil resultatet forekomme kaotisk: Farverne vil optræde overalt i væsken, og går man en tur i væsken vil man møde farven et antal gange, der vokser eksponentielt i antallet af iterationer. På de følgende billeder har vi vist en "farvet" (blå) kurve i en sådan skål, samt resultatet af at blande den langs fletningen \(\sigma_1 \sigma_2^{-1}\) et antal gange. Her er der altså 3 blandende pinde, hvis start- og slutplaceringer er de røde punkter. Lad os sige, at skålen før vores lille eksperiment ser således ud:



Vi følger nu de tre pindes bevægelse langs fletningen \(\sigma_1 \sigma_2^{-1}\) (se filmen nedenfor), hvilket nødvendigvis vil tvinge den blå kurve rundt i skålen.



Efter en enkelt omgang blanding, vil den resulterende blå kurve ligne noget i retning af det nedenstående:



Nu kan vi selvfølgelig fortsætte, og pointen er nu, at efterhånden som vi gentager processen, da vil antallet af blå linjer, der ligger i nærheden af hinanden, vokse eksponentielt. Det ville ikke være sket med en hvilken som helst fletning, men det sker altså for \(\sigma_1 \sigma_2^{-1}\), som derfor er et eksempel på en pseudo-Anosov fletning. Nedenfor ser vi resultatet af at køre processen 2, 3 og 4 gange:





En version af AMU-formodningen siger nu, at hvis man starter med en pseudo-Anosov fletning, da vil de matricer, der kommer ud af Jonesrepræsentationen opføre sig på en helt bestemt måde: Hvis \(\sigma\) er en pseudo-Anosov fletning med \(n\) strenge, så findes der et \(d\) og et naturligt tal \(k_0\), sådan at hvis \(k > k_0\), så er matrixpotensen \(\eta(\sigma)^m\) aldrig identiteten for noget \(m\), hvor her \(A = \exp(\pi i/(4k))\). (På matematisk kan det siges en smule kortere: \(\eta(\sigma)\) har uendelig orden for disse \(k\).)

I artiklen med Egsgaard beviser vi denne formodning for en uendelig samling specielle fletninger; detaljerne kan man selvfølgelig finde i artiklen.

Diagrammerne, figurerne og symbolerne i disse to indlæg er produceret med LaTeX-pakken TikZ, med Mathjax, med sage-pakken braid, med Python-biblioteket matplotlib, med Matlab-pakken braidlab og med POV-Ray.


Tags: matematik topologi knudeteori

Kommentarer


Ingen kommentarer endnu.


Tilføj kommentar

For at undgå for meget spam på siden skal du logge ind for at tilfæje en kommentar. Det kan du gøre nedenfor, eller du kan lave en bruger, hvis du ikke har en allerede. Du kan også bruge dit fotologin her.


E-post-adresse:
Kodeord:  Glemt din kode?
Captcha:

[ Nyt billede ]
CAPTCHA Image